Lo que he aprendido: hourglassing

No sé si os lo he contado alguna vez, pero mi investigación actual implica escribir código de elementos finitos. No, no son elementos muy delgaditos, sino finitos en contraposición a infinitos, es decir que su tamaño es limitado.

Otro día si eso me detengo un poco más en la explicación de los cacharros, que son movidas locas matemáticas, hoy lo que quería es hablar de un problema que se da a menudo en los cálculos de elementos finitos: el hourglassing. Es importante saber a qué se debe y cómo solucionarlo si queremos que nuestra simulación se parezca a la realidad.

Hourglassing: modos sin energía

El hourglassing (relojdearenización) consiste en que aparezcan modos de energía cero al utilizar integración reducida en un elemento. O, dicho en otras palabras, que el elemento sea más blando de la cuenta y se deforme sin que nadie lo toque. De esta manera, cuando calculemos los modos de nuestra estructura, nos aparecerán un montón de modos con un frecuencia cercana a cero. Dependiendo del orden del elemento, habrá más o menos modos de este tipo porque podrá deformarse de diferentes maneras.

Hay que tener cuidado aquí y no pensar que siempre que tenemos muchos modos de frecuencia cero hay hourglassing, ya que puede ser que hayamos metido la pata definiendo las condiciones de contorno, tengamos alguna pieza suelta y sean modos de sólido rígido perfectamente correctos.

Integrando en el elemento

Cuando digo integración reducida, me refiero a usar menos puntos de integración de Gauss de los que nos darían el resultado exacto. Por ejemplo, para un hexaedro lineal, necesitamos dos puntos de integración en cada dirección para obtener una matriz de rigidez exacta, a esto lo llamamos integración completa. Si decidimos usar solo un punto de integración en cada dirección, nuestro cálculo será menos exacto pero más rápido y corremos el riesgo de tener hourglassing. Ocurre lo mismo en el caso cuadrático, con tres puntos en cada dirección tendríamos integración completa y con dos integración reducida.

Podría pensarse que si la integración reducida da esos problemas es absurdo usarla, pero no es así, ya que nos evita un problema que padecen los elementos lineales: el shear locking. Esta otra palabra raruna hace referencia a la aparición de una fuerza cortante de mentira al intentar deformar a flexión un cuadrado o cubo lineal. Como es lineal, sus aristas no pueden curvarse, se comporta como un elemento mucho más rígido y nos da resultados absurdos. Aquí el bailoteo que permite la integración reducida juega a nuestro favor.

Visualizando el hourglassing

Aprovechando mi propio programita, os voy a enseñar la pinta que tienen los resultados de una simulación cuando ha habido hourglassing. En este ejemplo concreto es fácil de ver, ya que la superficie queda como arrugada. También se entiende mejor de dónde viene el nombre.

hourglass

Eso sí, cuidado, ya que no siempre es tan evidente. Lo infalible es calcular los modos: aparecerán los modos reales de la estructura y los espurios de energía cero que no tienen contrapartida física.

Conclusiones

Visto lo visto, os dejo con unos consejos para cuando simuléis, igualmente válidos para los que estéis escribiendo código desde cero y los que uséis software comercial:

  • Si salen modos con valores raros, después de verificar que las condiciones de contorno están bien, yo miraría qué tipo de integración estamos usando.

  • Si cambiando a integración completa los valores siguen sin tener sentido, yo comprobaría el orden del elemento. Si estamos usando elementos lineales con integración completa en un caso de flexión, son demasiado rígidos y van a dar valores de frecuencias naturales muy por encima de los correctos o deformaciones mucho más pequeñas (¡shear locking!). Una opción es pasarse a elementos cuadráticos, aumentando considerablemente el tiempo de cálculo, o considerar los elementos de modos incompatibles, que evitan el shear locking añadiendo restricciones adicionales.

  • Siempre verificaría que los problemas no se deben al tamaño de la malla, no cuesta (casi) nada reducir el mallado y nos quita muchos quebraderos de cabeza. Los elementos chiquiticos son más rígidos y menos propensos al hourglassing.

  • Si todo lo anterior falla, si estuviera en un programa comercial hurgaría en los controles del hourglass o metería amortiguamiento (si estoy en un caso que aplique). Solo como último recurso, todas las mierdas artificiales que le metamos a nuestra simulación tienen tendencia a explotarnos en la cara.

Espero que os resulte útil y poder algún día compartir el código para que juguéis.

Referencias

Why worry about hourglassing in explicit dynamics. Part 1

Why worry about hourglassing in explicit dynamics. Part 2

FEM: Rank deficiency and hourglassing

What is shear locking in FEA?

4 pensamientos en “Lo que he aprendido: hourglassing

  1. alejandrooptenmx

    Descubrí tu blog buscando en WordPress las palabras “finite element analysis” sólo como ocio y «¡oh por la ciencia!» encontré un espacio bastante útil e interesante ¡Saludos desde México!

    Responder

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