Repaso de ingeniería: modos axiales de una barra. Parte I: las ecuaciones

Uno de mis propósitos para este año era recuperar mi afición por lo que se supone que es mi carrera: la ingeniería mecánica. Demasiados años dedicándole casi el 100% de mis recursos mentales han conseguido que le coja manía.

Con esto en mente hoy vamos a hacer una cosa loquísima: vamos a conseguir las ecuaciones que gobiernan la vibración axial de una viga. En la segunda parte resolveremos analíticamente las ecuaciones para ver cómo son sus frecuencias naturales y sus modos. En la tercera parte haremos lo mismo de forma numérica en Octave1.

¿Por qué vamos a hacer esto? Pues por dos motivos: (i) para que veáis lo que he hecho en mis últimos años de vida y (ii) para demostrar que las ecuaciones diferenciales no son una cosa ignota que nadie entiende. Como es lo normal en mí, voy a hacer una demostración muy poco canónica, espero que no me matéis por ello.

Entremos en materia.


¿Qué es un modo?

Esta es una pregunta muy difícil de responder. Habrá quien diga que cierto elemento se mueve según uno de sus modos si vibra solo a una frecuencia, otros dirán que los modos son una onda estacionaria y otros más los relacionarán con las características dinámicas del sistema. Todos ellos tienen razón.

Yo definiría un modo de vibración así:

Un modo es la mínima porción en la que podemos descomponer el movimiento vibratorio de un sistema. Cada modo va asociado a dos cosas: una frecuencia natural, que indica cuándo se moverá el sistema y una forma modal, que define cómo se moverá. Conocer los modos de vibración de un sistema implica que podamos deducir su respuesta a cualquier excitación.

Un ejemplo claro de esto es el funcionamiento de una guitarra. Cuando rasgamos una cuerda suena una única nota (la frecuencia) y la cuerda se mueve según una onda concreta (la forma modal). En este vídeo que compartí hace tiempo podemos verlo:

Antes de continuar aclaremos una cosilla: un sistema puede moverse de dos maneras, puede desplazarse (o girar2) y puede vibrar. Cuando se desplaza (o gira) no hay movimiento relativo entre dos puntos del sistema, todo el sistema tiene el mismo desplazamiento, velocidad y aceleración. Como en este caso el sistema no se deforma, llamamos a este tipo de movimiento de sólido rígido. Cuando vibra, en cambio, los puntos del sistema se mueven unos respecto a otros. En este caso hay deformación, el sistema tiene que ser elástico para que este tipo de movimiento pueda ocurrir. Todo lo que os cuento en esta entrada es sobre el segundo tipo.

Un caso interesante para entender el tema de los modos es calcular los modos axiales de una barra. 

Los modos axiales de una barra

Imaginemos que tenemos una barra3 de módulo de Young E, densidad ρ, área A y longitud L en la que no hay aplicada ninguna carga. De momento consideramos que el módulo de Young, la densidad y el área son constantes en la longitud. Vamos a hacer un dibujillo para entender todo mejor, una barra empotrada a la pared en un extremo y libre en el otro:

Donde u es el desplazamiento de la sección y x la posición de la sección.

Ahora vamos a hacer lo que más nos gusta hacer a los ingenieros: coger un trocito de barra (un diferencial de x) y a aplicar la Ley de Newton, en este caso en la dirección del eje. 

Llamando N al esfuerzo normal nos queda:


\sum F_x = m\,a_x ~\rightarrow~ N+ \mathrm{d}N- N = m\,a

La masa vale: m = V\, \rho = A \, \mathrm{d}x \, \rho

Y la aceleración es la segunda derivada del desplazamiento: u =\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2}

También sabemos que el esfuerzo normal depende del área y de la tensión:

N = A \, \sigma = A \, E \, \varepsilon = A \, E \, \frac{\partial u(x,t)}{\partial x}

Llegamos a la última expresión usando primero la definición del módulo de Young y después la del desplazamiento de la sección.

Como necesitanos la derivada, pues derivamos teniendo en cuenta que el área y el módulo de Young son constantes en x:

\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}x}= \frac{\partial}{\partial x}\left( A\, E \,\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}\right)=A\, E \,\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}

Si sustituimos todo esto en la primera ecuación y simplificamos, nos queda:

\frac{E}{\rho}\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2}

Lo primero que vemos es que los modos de vibración de una barra de sección constante no dependen del área. Es decir, una barra cuadrada y una redonda tendrán los mismos modos.

Por último, definiendo la velocidad de propagación de la onda como c = \sqrt{\frac{E}{\rho}}, la ecuación nos queda:

c^2\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2}

Atentos a esta ecuación: es la ecuación de propagación de una onda en una barra. Resolviendo esto sabremos cuáles son las frecuencias naturales y los modos de cualquier barra.

Para resolver esa ecuación que da miedito vamos a usar una técnica conocida como separación de variables: vamos a suponer que la solución la forman dos funciones y que cada una de ellas depende exclusivamente de una única variable. Esto quiere decir que el desplazamiento lo formarán dos funciones, una dependiente del tiempo (t) y otra de la posición (x):

u(x,t)=X(x)T(t)

Si el desplazamiento es pequeño, tiene sentido suponer que una sección de la barra estará en el mismo sitio independientemente del tiempo. También es lógico pensar que el tiempo no depende de la posición de la sección.

Ahora sustituimos la expresión para u en la ecuación de onda y agrupamos las funciones dependientes de la posición en un lado y las dependientes del tiempo en otro.

Para ello, primero calculamos las derivadas:

\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}=\frac{\mathrm{d}X(x)}{\mathrm{d}x} T(t) , \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}=\frac{\mathrm{d}^2X(x)}{\mathrm{d}x^2} T(t)

\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}=\frac{\mathrm{d}T(t)}{\mathrm{d}t} X(x) , \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2}=\frac{\mathrm{d}^2 T(t)}{\mathrm{d}t^2} X(x)

Y las sustituimos en la ecuación de onda:

\frac{c^2}{X(x)}\frac{\mathrm{d}^2 U(x)}{\mathrm{d} x^2} = \frac{1}{T(t)}\frac{\mathrm{d}^2 T(t)}{\mathrm{d} t^2}

Ahora pensemos, ¿cuál es la única manera que dos funciones que dependen de variables diferentes sean iguales? Fácil, que ambas sean constantes. Si no veis esto claro imaginad qué ocurriría si T(t)=t, X(x) nunca podría tener ese valor porque solo depende de x. Nos pasaría eso mismo con cualquier otro valor que no fuera constante.

Nos quedan por lo tanto dos ecuaciones:

\frac{c^2}{X(x)}\frac{\mathrm{d}^2 U(x)}{\mathrm{d} x^2} = \text{cte}

\frac{1}{T(t)}\frac{\mathrm{d}^2 T(t)}{\mathrm{d} t^2} = \text{cte}

Vamos a llamar A a la constante de momento, luego veremos que esa constante tiene un significado. Organizando los términos, las dos ecuaciones nos quedan así:

\frac{\mathrm{d}^2 X(x)}{\mathrm{d} x^2} - \frac{A}{c^2} X(x)= 0

\frac{\mathrm{d}^2 T(t)}{\mathrm{d} t^2} - A T(t) = 0

Son dos ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo grado.


Ahora que tenemos las ecuaciones para conseguir los modos axiales de una barra, me parece un buen momento para parar. El próximo día las resolveremos. Iba a hacerlo todo seguido, pero se estaba volviendo demasiado largo.

¡Prepárense para el curso exprés de ecuaciones diferenciales de Ondiz! 😀

Más

Vibrations of Continuous Systems (pdf)

Modos normales de vibración de una barra elástica


  1. Originalmente este post estaba pensado para hacer en Matlab que es lo que yo tenía que usar cuando curraba, pero como ahora soy libre uso software libre. 
  2. Un giro no deja de ser un desplazamiento angular 
  3. Nosotros los ingenieros llamamos barra a un elemento estructural que solo soporta esfuerzo axial. Dicho de otra manera, es un elemento que trabaja a tracción o compresión, nadie intenta doblarlo por la mitad. Un ejemplo de barra son los elementos que conforman una celosía. 
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3 pensamientos en “Repaso de ingeniería: modos axiales de una barra. Parte I: las ecuaciones

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