Lo que he aprendido: otra manera de ver los puntos singulares de una función

Lo que voy a contar hoy es una cosilla que he visto por casualidad en un libro leyendo sobre cálculo variacional: otra manera de entender por qué los puntos singulares de las funciones se calculan así.

Hasta la fecha y a pesar de que tengo una carrera técnica (o precisamente por eso) tenía una manera visual de entender los puntos singulares: la derivada tiene que ser cero en ellos porque la pendiente es cero. Si la pendiente primero baja y luego sube es un mínimo y en caso contrario un máximo. Tan simple como eso. Los puntos de inflexión me tocaban las narices un poco más. Lo de calcular la segunda derivada y ver el signo es algo que siempre he hecho en automático y sin darle mas vueltas, como enseñan en el colegio, vamos.

La cuestión es que hoy he visto esto explicado con la expansión de Taylor de la función en el punto singular. Consiste en lo siguiente: imaginemos que el punto a es un mínimo. Vamos a representar la función f(x) como la expansión de Taylor en la cercanía del punto a:

f(x)=f(a)+\frac{df}{dx}|_{a}(x-a) + \frac{1}{2!} \frac{d^2 f}{dx^2}|_{a}(x-a)^2 + \frac{1}{3!} \frac{d^3 f}{dx^3}|_{a}(x-a)^3+...

Si lo escribimos así y quitamos los términos de orden mayor que dos:

f(x) - f(a) = \frac{df}{dx}|_{a}(x-a) + \frac{1}{2!} \frac{d^2 f}{dx^2}|_{a}(x-a)^2 +...

Podemos ver que el lado izquierdo de la ecuación siempre va a ser positivo si a es un mínimo ya que f(x) siempre va ser mayor que f(a). Para que se cumpla eso tienen que ocurrir dos cosas simultáneamente:

  1. Como (x-a) puede ser negativo, positivo o cero, para garantizar que ese término no es negativo la derivada tiene que ser cero.

  2. La segunda derivada tiene que ser positiva, ya que todo lo demás ya es positivo en el segundo término.

Que son las dos míticas reglas que nos sabemos todos. Pasaría algo parecido para el caso de un máximo o un punto de inflexión, pensad en ello 😉

Fuente: Vibration of continuos systems. Singeresu S. Rao

Anuncios

¡Opina sin miedo! (Puedes usar Markdown)

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s